MATEMÀTICA DISCRETA

MATEMÀTICA DISCRETA

"Matemática discreta es la parte de la matemática encargada del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerables

"La matemática discreta estudia estructuras cuyos elementos pueden contarse uno por uno separadamente, sin dar lugar a números decimales ni procesos infinitos. Es decir, los procesos en matemática discreta son finitos y contables."

"La matemática discreta es la base de todo lo relacionado con los procesos digitales, y por tanto, se constituye en parte fundamental de la ciencia de la computación, una de las ramas de estudio impartidas en los estudios deIngeniería Informática." además de Ingeniería Informática, también Ingeniería en Software e Ingeniería en sistemas de Información.

Lo realmente interesante de la matemática discreta mas allá de las definiciones es que tiene un gran contenido lógico que, si realmente se entiende cuando se la estudia, permite ver las cosas mucho mas racionalmente, que es lo que se busca en gran medida en las ingenierías, y mas hacen uso de la lógica las carreras que ya se nombraron debido a que en en estas ingenierías es necesario ser estructurado en los pensamientos, racional y con un buen poder de abstracciónpara el diseño de algoritmos. En las ingenierías dedicadas en cierta medida a la informática siempre se están trabajando en territorios de poco conocimiento en el cual es necesario ser estructurado con un buen grado de abstracción para poder entender los problemas a los que se enfrentan.

Esta disciplina estudia:

•             Lógica proposicional: Las proposiciones son enunciados los cuales podemos decir si son verdaderos o falsos. Por ejemplo:

"el sol es amarillo" puedo decir si es V o F.

"el sol es azul" también puedo decir si es V o F. "la flor" no puedo decir nada al respecto. "lloverá mañana" es una proposición pero habrá que esperar hasta mañana

para saber si es V o F. "silla" tampoco es una proposición ya que no podemos determinar su valor de verdad o falsedad.

•             Conjuntos: Un conjunto es una colección de elementos (de cualquier tipo), por definirlo de alguna manera, aunque los que saben dicen que no tienedefinición. Aquí se estudia las propiedades que tienen los conjuntos, como se puede operar entre dos o mas conjuntos.

•             Álgebra de Boole: esta se ocupa de las proposiciones y su valor de verdad, difiere del álgebra común.

•             Razonamientos.

•             Combinatoria

•             Grafos.

•             Relaciones binarias.

Ramas de las Matemáticas

Una rama de la matemática es una categoría o división de ella. Es decir una parte del sistema complejo que se considera dentro de la ciencia madre. Básicamente son 10, pero existen un sinnúmero de pequeñas ramas interrelacionadas que cubren el espectral de la ciencia llamada Matemática. Algunas de estas convergen en alguna otra ciencia como la lógica, la física, biología y la informática, entre otras,  pero como ramas de la matemática sólo toma una base en estas y lo transforman en un sentido estrictamente matemático aplicado a la ciencia. 

Es necesario aclarar, antes de continuar, que no existe una pared divisora entre estas ramas, más bien, todas están interrelacionadas de mayor o menor forma. No existe un "momento" donde dejemos de hablar de aritmética para hablar de álgebra, o de lógica matemática para hablar de teoría de conjuntos etc. Por lo que no pueden estudiarse de manera totalmente independiente. Es por esto que se dice que la matemática tiene una forma piramidal, si no se tienen conocimientos básicos de aritmética es imposible comprender el álgebra, si no conoce algebra y geometría plana es imposible entender geometría analítica etc.

1. Teoría de Conjuntos

Los Conjuntos son discriminados por muchos como una rama básica de la matemática. Dicen, algunos que son inservibles y poco prácticos. Los conjuntos son la base prima de las matemáticas, utilizada de forma constante en aritmética, algebra, lógica matemática, matemática aplicada etc. No solo tiene una forma básica, quienes han estudiado estructuras algebraicas ó algebra lineal saben lo importante que es conocer de conjuntos.

El primer estudio en teoría de números hecho formalmente lo hizo Cantor (George Cantor, Alemán) basado en un concepto de conjuntos intuitivo, definido como "colección de objetos", con la particularidad de que debe estar bien definido, esto es, que se pueda saber con claridad que un elemento pertenece o no pertenece al conjunto. (esta definición tiene problemas con lo que llamamos paradojas). En el siglo XIX Frege postuló que los conjuntos se definían solo por propiedades. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC (Axiomas de Zermelo-Fraenkel), aunque se conserva con orgullo la definición de Cantor.

 Se distinguen en la teoría de conjuntos relaciones entre ellos "ser iguales"; "ser distintos"; "ser subconjunto", "ser complementario" etc. y operaciones como "Unión"; "Intersección"; "diferencia", etc.

Subramas principales:

·         Algebra de Conjuntos

·         Relaciones y Funciones

·         Particiones

·         Combinatoria 

 2. Lógica Matemática

 La lógica matemática es una rama a su vez de la lógica y la matemática como ciencias distintas. Es sin duda una rama importante y básica en el estudio de las matemáticas. Es cierto que los primeros matemáticos no lo expresaban explicitamente, pero la lógica matemática ha estado tras toda demostración matemática.
Consiste en el estudio matemático de la lógica y su aplicación en las distintas áreas de las matemáticas. Por razones obvias está muy relacionada con la informática y la lógica filosófica. Estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, etc.

Es, la matemática de la lógica (y no al revés como algunos piensan), incluye todas las partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.

 
Su nombre fue dado por quien dio la primera estructura axiomática al conjunto de los números naturales, Giuseppe Peano, en esencia refiere a la lógica de Aristóteles, pero con una nueva notación, más abstracta tomada del álgebra.

Antes que él, ya se habían hecho varios intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de Leibniz y Lambert, pero esta no fue conocida.

Fue a mediados del siglo XIX que George Booble y Augustus De Morgan presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. Así reformaron y completaron la lógica aristotélica, obteniendo una herramienta apropiada para la investigación de los fundamentos de la matemática.

Subramas principales

·         teoría de modelos

·         teoría de la demostración

·         teoría de la recursión

·         Fundamentos de las matemáticas

·         Matemáticas discretas

3. Aritmética

La aritmética es la más antigua y elemental rama de la matemática, utilizada en casi todo el mundo, en tareas cotidianas como contar y en los más avanzados cálculos científicos. Estudia ciertas operaciones con los números y sus propiedades elementales.

Hay evidencias de su utilización desde la prehistoria, se han encontrado inscritos en objetos que indican clara concepción de la suma y resta con números enteros (ejemplo el hueso Ishango de África Central 18000 y 20000 a. C.), luego hay evidencias maravillosas entre los babilóneos (tablilla Plimpton 322), egipcios (papiro de Ahmes) quienes trabajaron incluso con fracciones.

Pero fue la aritmética india, que era mucho más simple que la griega, la que nos dio nuestra forma de representar los números, además que poseía desde tiempos antiguos la utilización del cero y una notación posicional. Fue en el siglo VII que el obispo Severo Senbhokt hace conocido este método y lo llamaron Hesab. Fibonacci lo presentó en Europa en 1202. y en la edad media la aritmética se convierte en una de las 7 artes liberales enseñadas en las universidades.

Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles gracias a la introducción de los números árabes y la notación decimal posicional. Los números árabes, basados en la aritmética, fueron desarrollados por los grandes matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación posicional, dando diferente valor a un número dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta, multiplicación y división, basadas en los números arábigos. A pesar de que ahora se considera elemental, su sencillez es la culminación de miles de años de desarrollo matemático. Por el contrario, el antiguo matemático Arquímedes dedicó todo un tratado para la elaboración de una notación con determinados números. El florecimiento de álgebra en el mundo medieval islámico y en el renacimiento europeo fue fruto de la enorme simplificación de las operaciones mediante la notación decimal posicional.

 Subramas principales

·         Teoría de números

·         Conjuntos numéricos

·         Historia de las matemáticas

·         Sistemas de numeración

4. Algebra

Estudia las estructuras, relaciones y las cantidades. Y convierte en una generalidad las propiedades particulares aprendidas en la aritmética. Su estudio permite un nivel de abstracción superior e indispensable para estudios superiores y por supuesto la resolución de ecuaciones.

 La palabra Algebra es de origen Árabe, proviene de un libro traducido en Toledo, España de Al-Jwarismi llamado Al-Kitab al-Jabr wa - I- Muqabala, significa compendio de cálculo por el método de reducción y balanceado, Algebra significa literalmente reducción.

A pesar de que su nombre viene del árabe, el origen del álgebra está mucho antes, hay indicios de ellas en los trabajos de los babilóneos, a diferencia de los egipcios, chinos, indios etc. que resolvían los mismos problemas pero de forma geométrica

Es mucho más tarde que los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado de mayor sofisticación, Al-Jwarismi  fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas. ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

Hacia mediados del siglo XVI se solucionaron algebraicamente las ecuaciones cúbicas y cuarticas. Luego en el siglo XVII  el japonés Kowa Seki desarrolló la idea de un factor determinante, seguido por Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices...

El álgebra es sin duda, la base del pensamiento abstracto, su lenguaje tal como lo conocemos fue desarrollado por Viete, aunque antes de él hubo muchos intentos relacionados y útiles de cierto modo.

 Subramas principales

·         Cálculo

·         Algebra lineal

·         Estructuras algebraicas

·         Geometría analítica

5. Geometría Euclidiana

La rama esencial de la matemática es la Geometría, pero habiendo diferencias tangibles en el trabajo algebraico y el geométrico las separaremos en dos, esto es geometría Euclidiana, y Geometría analítica.

Geometría Euclidiana, esta es aquella basada o derivada de forma concreta de los Elementos de Euclides, es decir que trabaja las propiedades del plano y el espacio tridimensional.

Cuando hablamos de propiedades del plano, nos adentramos en lo que llamamos geometría plana estudiada por Euclides, pero que no deja fuera trabajos de otros autores como  los que hubieron desde Arquímedes hasta Steiner. Se le llama Euclidiana porque los Elementos de Euclides es el mayor compilado histórico de este tema.

 Su estudio es sistemático y se basa en definiciones, axiomas, postulados y teoremas que permiten una demostración de cada una de las aseveraciones que se presentan.

De cierto modo la geometría Euclidiana no comenzó con Euclides, ya que los babilóneos, egipcios, chinos, indios y griegos antes de él ya lo habían trabajado, pero sólo él lo presentó de una forma ordenada y axiomática.

Subramas principales

·         Polígonos

·         Geometría Plana

·         Geometría del espacio

·         Transformaciones isométricas y homotecias

6. Geometría analítica

La geometría analítica convierte todo saber geométrico en una ecuación algebraica, es decir permite su estudio a través de técnicas de análisis matemático y  de álgebra en un determinado sistema de coordenadas.

Sus orígenes están con la conocida obra de Descartes, donde por primera vez se habló literalmente, de geometría analítica, y la desconocida obra de Fermat, contemporáneos, quienes de forma independiente, y basado en el lenguaje algebraico desarrollado por Viete, dan pie a lo que hoy conocemos como geometría  analítica. Es por descartes que algunos le llaman Geometría Cartesiana.

Los trabajos en esta área continúan, hasta llegar a lo que hoy llamamos geometría diferencial, desarrollada por Gauss.

Subramas principales

·         Geometría diferencial

·         Tangentes

·         Cálculo

·         Geometría Analítica espacial

7. Probabilidad

La probabilidad es el estudio del azar. Mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Su desarrollo es relativamente moderno, los juegos de azar muestran que ha habido interés por cuantificar la idea de la probabilidad durante milenios, pero las matemáticas exactas para resolverlos aparecieron mucho después.

Mucho del estudio de la probabilidad viene del trabajo de Cardano en el siglo XVI, Fermat y Blaise, Christiaan Huygens en el siglo XVII, Jacob Bernoulli y Abraham de Moivre en el siglo XVIII, el más destacado en ese siglo y en este tema fue Perre- Simon Laplace quien hizo el primer intento para deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:

1.     es simétrica al eje y;

2.     el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error   igual a 0;

3.     la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error.

Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones. También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

Subramas principales

Llógica matemática del azar

·         Experimentos aleatorios

·         Juegos de Azar

·         Teoría del error

 8. Estadística

Es referente a la recolección, análisis e interpretación de datos, que busca explicar condiciones regulares en fenómenos de tipo aleatorio.

Los métodos estadístico matemáticos emergieron desde la teoría de probabilidad, la cual data desde la correspondencia ciertamente entre Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christian Huygens (1657) da el primer tratamiento científico que se conoce a la materia. El Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y la Doctrina de Posibilidades (1718) de Abraham de Moivre estudiaron la materia como una rama de las matemáticas. En la era moderna, el trabajo de Kolmogórov ha sido un pilar en la formulación del modelo fundamental de la Teoría de Probabilidades, el cual es usado a través de la estadística.

Los fundadores de la estadística como tal son Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole quienes mejoraron la presentación de la teoría. Adolphe Quetelet (1796-1874), fue otro importante fundador de la estadística y quien introdujo la noción del "hombre promedio" (l'homme moyen) como un medio de entender los fenómenos sociales complejos tales como tasas de criminalidad, tasas de matrimonio o tasas de suicidios.

Subramas principales

·         Estadística descriptiva

·         Inferencia estadística

·         Bioestadística

9. Cálculo

Consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos.

El término "cálculo" procede del latín calculum, piedrecita que se mete en el calzado y que produce molestia. Precisamente tales piedrecitas ensartadas en tiras constituían el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen las primeras máquinas de calcular en el sentido de contar.

Los antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.

El sistema que usamos actualmente fue introducido por Luca Pacioli en 1494, y fue creado y desarrollado para responder a la necesidad de la contabilidad en los negocios de la burguesía renacentista.

En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más destacados Descartes, [8] Pascal [9] y, finalmente, Leibniz y Newton [10] con el cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.

El cálculo así utilizado se convierte en un instrumento fundamental de la investigación científica por las posibilidades que ofrece para la modelización de las teorías científicas, adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo numérico.

Subramas principales

·         Lógica Modal

·         Aplicaciones físicas

·         Optimización

·         Diferenciación

10. Matemática Aplicada

 Se refiere a todos aquellos métodos y herramientas matemáticas que pueden ser utilizados en el análisis o solución de problemas pertenecientes al área de las ciencias aplicadas o sociales.

Muchos métodos matemáticos han resultado efectivos en el estudio de problemas en física, química, biología, medicina, ciencias sociales, administración, ingeniería, economía, finanzas, ecología entre otras.

La definición no es absolutamente estricta, ya que, en principio, cualquier parte de las matemáticas podría ser utilizada en problemas reales; sin embargo una posible diferencia es que en matemáticas aplicadas se procura el desarrollo de las matemáticas "hacia afuera", es decir hacia el resto de las áreas. Y en menor grado "hacia dentro" o sea, hacia el desarrollo de las matemáticas mismas. Este último sería el caso de las matemáticas puras.

Subramas principales

·         Bioestadística

·         Matemática discreta

·         Matemática financiera